如何证明(p1p2…pk)^(1/n)是无理数。

反证法
假设(p1p2…pk)^(1/n)是有理数
不妨设(p1p2…pk)^(1/n)=b/a，（a、b为整数，且它们最大公约数为1）
则b^n=a^n*p1*p2*…*pk
可见b^n有约数p1，p2，...，pk
又p1，p2，...，pk是互不相等的素数，所以p1，p2，...，pk也是b的约数
而n>1，因此a^n也有约数p1，p2，...，pk，即p1，p2，...，pk也是a的约数
这与a、b最大公约数为1矛盾。
故。。。。。。

若一个数为有理数，则它可以化为a/b的形式,其中a,b互素
假设(p1p2…pk)^(1/n)是有理数,等于a/b.其中a,b互素

那么p1p2…pk=(a/b)^n=(a^n)/(b^n),且a^n,b^n互素

因为p1，p2，...，pk是整数,则要求b=1

此时a^n=p1p2…pk

不管a由哪些质因数相乘得到,a^n中肯定有重复的质因数.但p1p2…pk中没有重复的质因数.

这和p1，p2，...，pk是互不相等的素数矛盾

所以(p1p2…pk)^(1/n)是无理数

假设(p1p2…pk)^(1/n)是有理数
则可以表示为(p1p2…pk)^(1/n)= p/q (p,q为互质的整数,q不为0)
(若p,q不互质,则可以约简为互质)
则p1p2…pk=p^n / q^n
p1p2…pk * q^n = p^n
由于p1p2…pk都为素数,且互不相等,则要么有p1,p2,...,pk中之一能整除p^n,要么有q^n能整除p^n
(1)若q^n能整除p^n,显然与p,q互质矛盾
(2)若p1,p2,...,pk中之一能整除p,不妨设pi(i=1,2,...,k)能整除q^n
则pi能整除p^n
则pi能整除p
又n>=2,故至少有pi*pi能整除p*p
但现在左边只有一个pi,如果出现另一个pj(j=1,2...k且j不等于i),也满足,必有pi=pj,与